离散数学：群环域
群、环、域
特殊元
幂等元：$a^2=e$
单位元：$ax=x$
零元：$ax=a$
逆元：$ab=e$
群的概念递进
广群：封闭
半群：封闭+可结合
独异点：封闭+可结合+有单位元
群：封闭+可结合+有单位元+所有元素有逆元
阿贝尔群：群+可交换
环、域的概念递进
环：$(R,+,*)$ +是阿贝尔群，*是半群，并且*对+满足分配律
域：$(F,+,*)$ 是一个乘法含有单位元的环，并且F扣去零之后就是乘法的阿贝尔群（整环 + 非零元都可逆。）
整环：单位交换环，和域的区别是少了逆元（环 + 无零因子 + 交换 + 单位元。）
群的阶、元素的阶
群的阶：里面有n个元素即为n阶群
元素的阶：存在最小正整数k使得 $a^k=e$，那么a就为k阶元。
- 一阶元：$a=e$，只有一个一阶元
- 二阶元：$a^2=e$，因此 $a=a^{-1}$，a和其逆元实际上是一个元素。
- 二阶元以上：$a≠a^{-1}$，所以a和其逆元成对出现。
- 推论：偶数阶的群，一定含有二阶元：二阶以上成对出现，一阶元只有一个，那么必定存在二阶元。
子群、拉格朗日定理
平凡群：只有一个元素（单位元）是所有群的子群，同时也是循环群、阿贝尔群。
子群证明：
- H是G非空子集。H通常是加了条件限定的，代入单位元证明其非空
- H对于运算是封闭的。H的元素同样也是G的元素，同样具备G的特性，利用G的特性，证明H的元素符合之前的条件限定。逆元可以使用 $xy^{-1}$进行变换。
- H的非零元素都存在逆元
求所有子群：
- 阶为1的子群：单位元
- 阶为2的子群：单位元、平方等于单位元的元素。。。。
- 阶为4的子群：单位元、四次放等于单位元的元素。。。。。
拉格朗日定理：对于有限群 G 和其子群 H，H 阶 必然是 G阶 的因子。陪集数量乘H阶=G阶
- G的元素a，a 阶k 必然是 G阶n 的因子，并且 $a^n=e$（并不代表a是n阶元，因为n是k的倍数）
- 若 ∣G∣= n，则 G 的子群的阶只能是 n 的约数。
- 6-> 子群阶只能是1,2,3,6
- 8-> 1,2,4,8
- 左右陪集阶为 H阶，左右陪集要么相同，要么不相交
- H，K为子群，H交K就是H,K的子集，所以H交K是 H 和 K 的因子，其能够整除HK的最大公因数。因为HK互质，所以 H交K只能是一阶
循环群
循环群：G中存在一个元素a，使得所有的元素都可以表达为 a 的幂次方的形式，那么a是群的生成元，G是循环群
循环群的性质：
- n 阶循环群，生成元也是 n阶元，即 $g^n=e$
- 一定是阿贝尔群
- n 阶循环群，同构于$(N_n, +_n)$
- 无限循环群，同构于$(I_n,+_n)$
群的性质总结
群的性质：
- 逆元和单位元唯一，没有零元
- $(a\times b)^{-1}=b^{-1}\times a^{-1}$ 重要，证明题里面逆元出现
- 支持左右消去 ，方程一定可解
- 每个元素在运算表的行/列必然出现且只会出现一次
- 阶的性质
- 素数阶群必是循环群，没有非平凡子群，并且除了单位元，剩下的全都是生成元。
- 逆元和自己有着相同的阶数
群的同态
群的同态和同构：
同态： $f(a*b) = f(a)+f(b)$ 如果是$f(ab)=f(a)f(b)$，那就是自同态。
同构：f是双射的同态
同态核K：S中那些经过映射之后变成 S’单位元的元素，如果只有S的单位元，说明是单射
f(e) = e
证明题：对于 x∈K，f(x)=e，
证明自同构：
- f是双射
- 先证明是入射: 任取不相等的两个元素x1x2，f(x1) f(x2)肯定不相等
- 再证明满射: 对于任意一个y，肯定有一个x∈G对应
- f(xy)=f(x)f(y)